Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+1）^{2}，x≤0}\\{\frac{lnx}{{x}^{2}}，x＞0}\end{array}\right.$，若函數(shù)y=f（f（x）+m）有五個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（1-$\frac{1}{2e}$，1）∪（-1-$\frac{1}{2e}$，-1）．

Answer 1

分析 求出x＞0函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，求得最值，畫出f（x）的圖象，令t=f（x）+m，即有f（t）=0，解得t=-1或1，當(dāng)t=-1時(shí)，f（x）=-1-m；t=1時(shí)，f（x）=1-m，通過圖象觀察，可得m的不等式，即可得到所求范圍．

解答 解：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$的導(dǎo)數(shù)為：
f′（x）=$\frac{1-2lnx}{{x}^{3}}$，
當(dāng)x＞$\sqrt{e}$時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減；
當(dāng)0＜x＜$\sqrt{e}$時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增．
即有x=$\sqrt{e}$處取得最大值，且為$\frac{1}{2e}$，
畫出f（x）的圖象，如右圖：
令t=f（x）+m，即有f（t）=0，解得t=-1或1，
當(dāng)t=-1時(shí)，f（x）=-1-m；
t=1時(shí)，f（x）=1-m，
由題意結(jié)合圖象可得，
$\left\{\begin{array}{l}{-1-m＜0}\\{0＜1-m＜\frac{1}{2e}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{0＜-1-m＜\frac{1}{2e}}\\{1-m＞1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1-m=\frac{1}{2e}}\\{\frac{1}{2e}＜1-m＜1}\end{array}\right.$，
即有$\left\{\begin{array}{l}{m＞-1}\\{1-\frac{1}{2e}＜m＜1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1-\frac{1}{2e}＜m＜-1}\\{m＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=-1-\frac{1}{2e}}\\{0＜m＜1-\frac{1}{2e}}\end{array}\right.$，
解得1-$\frac{1}{2e}$＜m＜1或-1-$\frac{1}{2e}$＜m＜-1．
故答案為：（1-$\frac{1}{2e}$，1）∪（-1-$\frac{1}{2e}$，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)零點(diǎn)的判定，其中將函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程根的個(gè)數(shù)問題，是解答的關(guān)鍵．