Question

5．已知向量$\overrightarrow{a}$=（$\frac{1}{2}$sin2x，cos²x-$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow$=（sinφ，cosφ），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$（0＜φ＜π），其圖象過點(diǎn)（$\frac{π}{8}$，$\frac{1}{2}$）
（1）求φ的值和f（x）的圖象的對稱中心；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的$\frac{1}{2}$，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求函數(shù)g（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1I）首先，利用降冪公式、輔助角公式化簡函數(shù)解析式，然后，根據(jù)三角函數(shù)的對稱中心進(jìn)行求解即可；
（2）借助于三角函數(shù)的圖象變換，得到函數(shù)g（x）的解析式，然后，確定其最大值和最小值即可．

解答 解：（1）∵f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$
=$\frac{1}{2}$sin2xsinφ+cosφ（cos²x-$\frac{1}{2}$）
=$\frac{1}{2}$sin2xsinφ+$\frac{1}{2}$cosφcos2x
=$\frac{1}{2}$cos（2x-φ），
∴f（x）=$\frac{1}{2}$cos（2x-φ），
∵其圖象過點(diǎn)（$\frac{π}{8}$，$\frac{1}{2}$），
∴cos（$\frac{π}{4}$-φ）=1，
∵0＜φ＜π，
∴φ=$\frac{π}{4}$，
∴f（x）=$\frac{1}{2}$cos（2x-$\frac{π}{4}$），
令2x-$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$+kπ，
∴2x=$\frac{3π}{4}$+kπ，
∴x=$\frac{3π}{8}$+$\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
∴對稱中心（$\frac{3π}{8}$+$\frac{kπ}{2}$，0），（k∈Z），
（2）結(jié)合圖象變換，得
g（x）=2cos（4x-$\frac{π}{4}$），
∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，
0≤4x≤2π，
∴-$\frac{π}{4}$≤4x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{7π}{4}$，
∴-2≤2cos（4x-$\frac{π}{4}$）≤2，
∴最大值2和最小值-2．

點(diǎn)評 本題屬于綜合題，綜合考查了三角公式、二倍角公式、輔助角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，屬于中檔題．