Question

9．已知AB、CD為過(guò)拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的弦，AC交BD于點(diǎn)N，AD交BC于點(diǎn)M．求證：△MNF的外接圓過(guò)一個(gè)不同于F的定點(diǎn)G，并求點(diǎn)G的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，設(shè)出A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$，y₂），C（$\frac{{{y}_{3}}^{2}}{2p}$，y₃），D（$\frac{{{y}_{4}}^{2}}{2p}$，y₄），由直線AB的方程代入拋物線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理可得y₁y₂=-p²，同理可得y₃y₄=-p²，求出直線AD的方程和直線BC的方程，求得交點(diǎn)M，同理可得N，再由向量的數(shù)量積可得$\overrightarrow{FM}$⊥$\overrightarrow{FN}$，即△MNF的外接圓以MN為直徑的圓，由F關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)在圓上，再由對(duì)稱性，即可得到G的坐標(biāo)．

解答 證明：拋物線y²=2px的焦點(diǎn)為F（$\frac{p}{2}$，0），準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{p}{2}$，
設(shè)A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{2p}$，y₂），C（$\frac{{{y}_{3}}^{2}}{2p}$，y₃），D（$\frac{{{y}_{4}}^{2}}{2p}$，y₄），
設(shè)直線AB的方程為y=k（x-$\frac{p}{2}$），
代入拋物線，消去x，可得ky²-2py-kp²=0，
即有y₁y₂=-p²，
同理可得y₃y₄=-p²，
k_AD=$\frac{{y}_{1}-{y}_{4}}{\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}-\frac{{{y}_{4}}^{2}}{2p}}$=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{4}}$，同理可得k_BC=$\frac{2p}{{y}_{2}+{y}_{3}}$，
即有直線AD方程為y-y₁=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{4}}$（x-$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{2p}$），
即為y=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{4}}$x+$\frac{{y}_{1}{y}_{4}}{{y}_{1}+{y}_{4}}$，①
同理可得直線BC的方程為y=$\frac{2p}{{y}_{2}+{y}_{3}}$x+$\frac{{y}_{2}{y}_{3}}{{y}_{2}+{y}_{3}}$，②
由①②結(jié)合y₁y₂=y₃y₄=-p²，
解得M（-$\frac{P}{2}$，$\frac{{y}_{1}{y}_{4}-{p}^{2}}{{y}_{1}+{y}_{4}}$）；
同理可得N（-$\frac{p}{2}$，$\frac{{y}_{1}{y}_{3}-{p}^{2}}{{y}_{1}+{y}_{3}}$），
即有$\overrightarrow{FM}$=（p，-$\frac{{y}_{1}{y}_{4}-{p}^{2}}{{y}_{1}+{y}_{4}}$），$\overrightarrow{FN}$=（p，-$\frac{{y}_{1}{y}_{3}-{p}^{2}}{{y}_{1}+{y}_{3}}$），
可得$\overrightarrow{FM}$•$\overrightarrow{FN}$=p²+$\frac{{y}_{1}{y}_{4}-{p}^{2}}{{y}_{1}+{y}_{4}}$•$\frac{{y}_{1}{y}_{3}-{p}^{2}}{{y}_{1}+{y}_{3}}$
=p²+$\frac{{y}_{1}{y}_{4}+{y}_{3}{y}_{4}}{{y}_{1}+{y}_{4}}$•$\frac{{y}_{1}{y}_{3}+{y}_{3}{y}_{4}}{{y}_{1}+{y}_{3}}$=p²+y₃y₄=0，
即有$\overrightarrow{FM}$⊥$\overrightarrow{FN}$，
即△MNF的外接圓以MN為直徑的圓，
由F關(guān)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)在圓上，
即F關(guān)于直線x=-$\frac{p}{2}$對(duì)稱的點(diǎn)為G（-$\frac{3p}{2}$，0）．
故△MNF的外接圓過(guò)一個(gè)不同于F的定點(diǎn)G，且為（-$\frac{3p}{2}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，注意運(yùn)用直線方程和拋物線的方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)考查直線方程的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于難題．