Question

15．2010年上海世博會某國要建一座八邊形的展館區(qū)，它的主體造型的平面圖是由兩個相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的面積為200m²的十字型地域，計劃在正方形MNPQ上建一座“觀景花壇”，造價為4200元/m²，在四個相同的矩形上（圖中陰影部分）鋪花崗巖地坪，造價為210元/m²，再在四個空角（如△DQH等）上鋪草坪，造價為80元/m²．設(shè)AD長為xm，DQ長為ym．
（1）試找出x與y滿足的等量關(guān)系式；
（2）設(shè)總造價為S元，試建立S與x的函數(shù)關(guān)系；
（3）若總造價S不超過138000元，求AD長x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知，十字形區(qū)域面積為矩形DAMQ面積的四倍與正方形MNPQ面積之和，得出4xy+x²=200；
（2）由（1）得y=$\frac{200-{x}^{2}}{4x}$，S=4200x²+210•4xy+80•2y²，即可建立S與x的函數(shù)關(guān)系．
（3）利用總造價S不超過138000元，建立不等式，即可求AD長x的取值范圍．

解答 解：（1）由已知，十字形區(qū)域面積為矩形DAMQ面積的四倍與正方形MNPQ面積之和，
得出x與y滿足的等量關(guān)系式為：4xy+x²=200　　　　　　　　　　　　　　     …..（4分）
（2）由（1）得y=$\frac{200-{x}^{2}}{4x}$　　　　　　　　　　　　　　      …..（6分）
S=4200x²+210•4xy+80•2y²=4000x²+$\frac{400000}{{x}^{2}}$+38000（x＞0）；…..（10分）
（3）由S≤138000，得4000x²+$\frac{400000}{{x}^{2}}$+38000≤138000，…..（12分）
（x²-5）（x²-20）≤0，即$\sqrt{5}$≤x≤2$\sqrt{5}$，…..（15分）
所以AD長x的取值范圍是[$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$]．　　　　　　　　　　  　　…..（16分）

點評 本題考查基本不等式的實際應(yīng)用，函數(shù)的性質(zhì)．建立正確的函數(shù)關(guān)系式是前提，準(zhǔn)確解不等式是保障．