Question

15．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d圖象與y軸交點坐標為（0，4），其導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）是以y軸為對稱軸的拋物線，大致圖象如圖所示．
（I）求函數(shù)f（x）的解析式；
（II）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

分析 （I）求導(dǎo)數(shù)，利用條件建立方程組，即可求函數(shù)f（x）的解析式；
（II）求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求函數(shù)f（x）的極值．

解答 解：（I）f（x）=ax³+bx²+cx+d，f′（x）=3ax²+2bx+c
由題意，得$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=4}\\{b=0}\\{f′（-2）=0}\\{f′（0）=-4}\end{array}\right.$    …（2分）
解之，得a=$\frac{1}{3}$，b=0，c=-4，d=4，
所以，f（x）=$\frac{1}{3}$x³-4x+4 …（6分）
（II）f′（x）=x²-4，
令f′（x）＞0，可得x＜-2或x＞2，f′（x）＜0，可得-2＜x＜2，
∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是（-∞，-2），（2，+∞）；單調(diào)減區(qū)間是（-2，2）
因此，f（x）_極大值=f（-2）=$\frac{28}{3}$，f（x）_極小值=f（x）=-$\frac{4}{3}$．…（12分）

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．