Question

7．如圖，四邊形ABCD與BDEF均為菱形，∠DAB=∠DBF=60°，AB=2，且FA=FC．
（1）求證：AC⊥平面BDEF；
（2）求三棱錐E-ABD的體積．

Answer 1

分析 （1）設(shè)AB，CD交于點(diǎn)O，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD，由FA=FC可得AC⊥FO，故而AC⊥平面BDEF；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)計(jì)算OA，BD，DE，∠BDE，得出S_△BDE，則V_E-ABD=V_A-BDE=$\frac{1}{3}{S}_{△BDE}$•OA．

解答 （1）證明：設(shè)AB∩CD=O，連接DF，OF
∵四邊形ABCD為菱形，
∴AC⊥BD，
∵AF=CF，O為AC的中點(diǎn)，
∴AC⊥OF，
又∵BD?平面BDEF，OF?平面BDEF，BD∩OF=O，
∴AC⊥平面BDEF．
（2）解：四邊形ABCD與BDEF均為菱形，∠DAB=∠DBF=60°，AB=2，
∴DE=BD=2，∠BDE=120°，OA=$\sqrt{3}$．
∴S_△BDE=$\frac{1}{2}BD×DE×sin120°$=$\sqrt{3}$，
由（1）得AC⊥平面BDEF，
所以AO⊥平面BDEF，
∴V_E-ABD=V_A-BDE=$\frac{1}{3}{S}_{△BDE}$•OA=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\sqrt{3}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定，菱形的性質(zhì)，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．