Question

19．求雙曲線9x²-16y²=144被點(diǎn)P（8，3）平分的弦AB所在的直線方程．

Answer 1

分析 檢驗(yàn)直線方程為x=8，是否符合題意，然后設(shè)直線與雙曲線相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用點(diǎn)差法求出直線方程后，代入檢驗(yàn)所求直線與已知曲線是否相交．

解答 解：當(dāng)直線的斜率k不存在時(shí)，直線方程為x=8，
直線被雙曲線所截線段的中點(diǎn)為（8，0），不符合題意；
設(shè)直線與雙曲線相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
把A，B代入到曲線方程可得9x₁²-16y₁²=144，9x₂²-16y₂²=144，
相減可得，9（x₁-x₂）（x₁+x₂）-16（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，x₁+x₂=16，y₁+y₂=6，
∴kAB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{9×16}{16×6}$=$\frac{3}{2}$，
直線的方程為y-3=$\frac{3}{2}$（x-8），即為y=$\frac{3}{2}$x-9，
代入雙曲線9x²-16y²=144，
可得3x²-48x+160=0，此時(shí)△=384＞0，滿足題意．
故所求直線的方程為3x-2y-18=0．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了點(diǎn)差法在求解直線與曲線相交關(guān)系中的應(yīng)用，學(xué)生用“點(diǎn)差法”求出直線方程漏掉檢驗(yàn)用“△”驗(yàn)證直線的存在性是導(dǎo)致本題出現(xiàn)錯(cuò)誤的最直接的原因．