Question

16．已知G是△ABC的重心，若直線PQ過(guò)點(diǎn)G，與AC，BC分別交于P，Q，設(shè)$\overrightarrow{CP}$=m$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CQ}$=n$\overrightarrow{CB}$，則$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=3．

Answer 1

分析 用$\overrightarrow{CP}，\overrightarrow{CQ}$表示出$\overrightarrow{CG}$，根據(jù)P，G，Q三點(diǎn)共線列出方程得出m，n的關(guān)系．

解答 解取AB中點(diǎn)D，連結(jié)CD，則$\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$，
∵G是△ABC的重心，∴$\overrightarrow{CG}=\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CB}$．
∵$\overrightarrow{CP}$=m$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CQ}$=n$\overrightarrow{CB}$，
∴$\overrightarrow{CA}=\frac{1}{m}\overrightarrow{CP}$，$\overrightarrow{CB}=\frac{1}{n}\overrightarrow{CQ}$，
∴$\overrightarrow{CG}=\frac{1}{3m}\overrightarrow{CP}$+$\frac{1}{3n}\overrightarrow{CQ}$．
∵P，G，Q三點(diǎn)共線，
∴$\frac{1}{3m}+\frac{1}{3n}=1$，
∴$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}=3$
故答案為：3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的線性運(yùn)算的幾何意義，平面向量的基本定理，屬于中檔題．