Question

20．如圖，在小正方形邊長為1的網(wǎng)格中畫出了某多面體的三視圖，則該多面體的外接球表面積為34π．

Answer 1

分析 由三視圖知，該幾何體是一個(gè)側(cè)面與底面垂直的三棱錐，畫出直觀圖，再建立空間直角坐標(biāo)系，求出三棱錐外接球的球心與半徑，從而求出外接球的表面積．

解答 解：由三視圖知，該幾何體是三棱錐S-ABC，且三棱錐的一個(gè)側(cè)面SAC與底面ABC垂直，
其直觀圖如圖所示；
由三視圖的數(shù)據(jù)可得OA=OC=2，OB=OS=4，
建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，如圖所示；
則A（0，-2，0），B（4，0，0），C（0，2，0），S（0，0，4），
則三棱錐外接球的球心I在平面xOz上，設(shè)I（x，0，z）；
由$\left\{\begin{array}{l}{|IB|=|IS|}\\{|IB|=|IC|}\end{array}\right.$得，
$\left\{\begin{array}{l}{{（x-4）}^{2}{+z}^{2}{=x}^{2}{+（z-4）}^{2}}\\{{（x-4）}^{2}{+z}^{2}{=x}^{2}{+2}^{2}{+z}^{2}}\end{array}\right.$，
解得x=z=$\frac{3}{2}$；
∴外接球的半徑R=|BI|=$\sqrt{{（\frac{3}{2}-4）}^{2}{+（\frac{3}{2}）}^{2}}$=$\sqrt{\frac{34}{4}}$，
∴該三棱錐外接球的表面積S=4πR²=4π×$\frac{34}{4}$=34π．
故答案為：34π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了由三視圖求幾何體外接球的表面積，解題的關(guān)鍵是判斷幾何體的形狀及外接球的半徑，是綜合性題目．