Question

9．函數(shù)$f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}）$在它的某一個周期內(nèi)的單調(diào)減區(qū)間是$[\frac{5π}{12}，\frac{11π}{12}]$．
（1）求f（x）的解析式；
（2）將y=f（x）的圖象先向右平移$\frac{π}{6}$個單位，再將圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}$倍（縱坐標不變），所得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)記為g（x），若對于任意的$x∈[\frac{π}{8}，\frac{3π}{8}]$，不等式|g（x）-m|＜1恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可求最小正周期，利用周期公式可求ω，又$sin（2×\frac{5π}{12}+φ）=1$，解得$φ=-\frac{π}{3}$，從而可求f（x）的解析式．
（2）由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律可求$g（x）=sin（4x-\frac{2π}{3}）$，由$x∈[\frac{π}{8}，\frac{3π}{8}]$可求函數(shù)g（x）在$[\frac{π}{8}，\frac{3π}{8}]$上的最大值為1，最小值為$-\frac{1}{2}$，由題意解得不等式組$\left\{{\begin{array}{l}{g{{（x）}_{max}}＜m+1}\\{g{{（x）}_{min}}＞m-1}\end{array}}\right.$即可解得m的取值范圍．

解答 解：（1）由條件，$\frac{T}{2}=\frac{11π}{12}-\frac{5π}{12}=\frac{π}{2}$，
∴$\frac{2π}{ω}=π$，∴ω=2，
又$sin（2×\frac{5π}{12}+φ）=1$，∴$φ=-\frac{π}{3}$，
∴f（x）的解析式為$f（x）=sin（2x-\frac{π}{3}）$．
（2）將y=f（x）的圖象先向右平移$\frac{π}{6}$個單位，得$y=sin（2x-\frac{2π}{3}）$，
∴再將圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{2}$倍（縱坐標不變），得到$g（x）=sin（4x-\frac{2π}{3}）$，
而∵$x∈[\frac{π}{8}，\frac{3π}{8}]$，∴$-\frac{π}{6}≤4x-\frac{2π}{3}≤\frac{5π}{6}$，
∴函數(shù)g（x）在$[\frac{π}{8}，\frac{3π}{8}]$上的最大值為1，此時$4x-\frac{2π}{3}=\frac{π}{2}$，∴$x=\frac{7π}{24}$；
最小值為$-\frac{1}{2}$，此時$4x-\frac{2π}{3}=-\frac{π}{6}$，∴$x=\frac{π}{8}$．
∴$x∈[\frac{π}{8}，\frac{3π}{8}]$時，不等式|g（x）-m|＜1恒成立，即m-1＜g（x）＜m+1恒成立，
即$\left\{{\begin{array}{l}{g{{（x）}_{max}}＜m+1}\\{g{{（x）}_{min}}＞m-1}\end{array}}\right.$，∴$\left\{{\begin{array}{l}{1＜m+1}\\{-\frac{1}{2}＞m-1}\end{array}}\right.$，∴$0＜m＜\frac{1}{2}$．

點評 本題主要考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律的應(yīng)用，考查了正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，周期公式，不等式的解法，考查了數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．