Question

8．已知函數f（x）=a^2x+2a^x-5（a＞0，且a≠1）在區(qū)間[1，2]上的最大值為10，求實數a的值．

Answer 1

分析 先令t=a^x，轉化為二次函數，再結合a＞1或0＜a＜1確定出t的范圍，結合單調性確定何時取最大值列出方程即可．

解答 解：令t=a^x＞0
則原函數化為y=t²+2t-5=（t+1）²-6，
結合二次函數的圖象與性質可知該函數在（0，+∞）上是單調增函數，
結合x∈[1，2]，
則當a＞1時，t=a^x∈[a，a²]，
所以y_max=（a²+1）²-6=10，解得a=$\sqrt{3}$或-$\sqrt{3}$（舍），
所以此時a=$\sqrt{3}$符合題意；
當0＜a＜1時，t=a^x∈[a²，a]，
所以y_max=（a+1）²-6=10，解得a=3，或-5，舍去，不符合題意．
綜上，所求實數a的值為$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了利用指數函數與二次函數的單調性求最值，利用換元法將問題轉化為二次函數的問題是關鍵．