Question

8．已知函數(shù)f（x）=a^2x+2a^x-5（a＞0，且a≠1）在區(qū)間[1，2]上的最大值為10，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 先令t=a^x，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，再結(jié)合a＞1或0＜a＜1確定出t的范圍，結(jié)合單調(diào)性確定何時取最大值列出方程即可．

解答 解：令t=a^x＞0
則原函數(shù)化為y=t²+2t-5=（t+1）²-6，
結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知該函數(shù)在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，
結(jié)合x∈[1，2]，
則當(dāng)a＞1時，t=a^x∈[a，a²]，
所以y_max=（a²+1）²-6=10，解得a=$\sqrt{3}$或-$\sqrt{3}$（舍），
所以此時a=$\sqrt{3}$符合題意；
當(dāng)0＜a＜1時，t=a^x∈[a²，a]，
所以y_max=（a+1）²-6=10，解得a=3，或-5，舍去，不符合題意．
綜上，所求實(shí)數(shù)a的值為$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了利用指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的單調(diào)性求最值，利用換元法將問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的問題是關(guān)鍵．