Question

【題目】橢圓（）的左右焦點(diǎn)分別為，，且離心率為，點(diǎn)為橢圓上一動點(diǎn)，面積的最大值為．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為，過右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，連結(jié)，并延長交直線分別于，兩點(diǎn)，問是否為定值？若是，求出此定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）首先設(shè)，然后根據(jù)離心率得到與的關(guān)系，再根據(jù)三角形面積取得最大值時(shí)點(diǎn)為短軸端點(diǎn)，由此求得的值，從而求得橢圓方程；（2）首先設(shè)出直線的方程，并聯(lián)立橢圓方程，然后利用韋達(dá)定理結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得定值．

試題解析：（1）已知橢圓的離心率為，不妨設(shè)，，即，其中，

又面積取最大值時(shí)，即點(diǎn)為短軸端點(diǎn)，因此，解得，

則橢圓的方程為．

（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立可得

，則，，

直線的方程為，直線的方程為，

則，，

從而，，

則，

即為定值．