Question

2．給出下列四個(gè)命題：
①命題“若θ=-$\frac{π}{3}$，則tanθ=-$\sqrt{3}$”的否命題是“若θ≠-$\frac{π}{3}$，則tanθ≠-$\sqrt{3}$”；
②在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB的充分不必要條件”；
③定義：$\frac{n}{{p}_{1}+{p}_{2}+…+{p}_{n}}$為n個(gè)數(shù)p₁，p₂，…，p_n的“均倒數(shù)”，已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為 $\frac{1}{n+2}$，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n+1；
④在△ABC中，BC=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{6}$，AB邊上的中線長(zhǎng)為$\sqrt{2}$，則AB=2$\sqrt{2}$．
以上命題正確的為①③④（寫出所有正確的序號(hào)）

Answer 1

分析 ①根據(jù)否命題的定義進(jìn)行判斷．
②根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷．
③根據(jù)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為$\frac{1}{3n+2}$，即可求出S_n，然后利用裂項(xiàng)法進(jìn)行求和即可．
④根據(jù)余弦定理進(jìn)行求解判斷．

解答 解：①命題“若θ=-$\frac{π}{3}$，則tanθ=-$\sqrt{3}$”的否命題是“若θ≠-$\frac{π}{3}$，則tanθ≠-$\sqrt{3}$”；故①正確，
②在△ABC中，“A＞B”等價(jià)于a＞b，等價(jià)為sinA＞sinB，則，“A＞B”是“sinA＞sinB的充分必要條件”；故②錯(cuò)誤，
③∵數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為 $\frac{1}{n+2}$，
∴$\frac{n}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n+2}$，即S_n=n（n+2）=n²+2n，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-（n-1）²-2（n-1）=2n+1，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1+2=3，滿足a_n=2n+1，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n+1，故③正確，
④在△ABC中，BC=$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{6}$，AB邊上的中線長(zhǎng)為$\sqrt{2}$，
設(shè)AB=2x，
則cos∠AOC=-cos∠BOC，
即$\frac{{x}^{2}+2-6}{2\sqrt{2}x}$=-$\frac{{x}^{2}+2-2}{2\sqrt{2}x}$，
即x²-4=-x²，
即x²=2，則x=$\sqrt{2}$，
則AB=2$\sqrt{2}$．故④正確，
故答案為：①③④

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，涉及四種命題，充分條件和必要條件以及解三角形的應(yīng)用，綜合性較強(qiáng)，難度中等．