Question

14．已知雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，過F作斜率為-1的直線交雙曲線的漸近線于點P，點P在第一象限，O為坐標原點，若△OFP的面積為$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{8}$，則該雙曲線的離心率為$\frac{\sqrt{10}}{3}$．

Answer 1

分析 過F作斜率為-1的直線方程為y=-（x-c），與雙曲線的漸近線y=$\frac{a}$x，可得P（$\frac{ac}{b+a}$，$\frac{bc}{b+a}$），利用△OFP的面積為$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{8}$，可得a=3b，即可求出該雙曲線的離心率．

解答 解：過F作斜率為-1的直線方程為y=-（x-c），
與雙曲線的漸近線y=$\frac{a}$x，可得P（$\frac{ac}{b+a}$，$\frac{bc}{b+a}$），
∵△OFP的面積為$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{8}$，
∴$\frac{1}{2}•c•$$\frac{bc}{b+a}$=$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{8}$，
∴a=3b，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{10}$b，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{10}}{3}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{10}}{3}$．

點評 本題考查雙曲線的離心率，考查三角形面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．