Question

19．設(shè)a₁，d為實數(shù)，首項為a₁，公差為d的等差數(shù)列{a_n}的前項和為S_n，滿足S₅•S₆+15=0．
（1）若S₅=5，求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（2）若數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，T_n=a_n²，求{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）通過聯(lián)立S₅=5與S₆=-3可求出首項和公差，代入公式即得結(jié)論；
（2）通過（1）可知T_n=9n²-60n+100，當n≥2時，利用b_n=T_n-T_n-1可得通項公式，進而驗證當n=1時是否成立即可．

解答 解：（1）由題意知S₅=5，S₆=-3，所以$\left\{\begin{array}{l}{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}d=5}\\{6{a}_{1}+\frac{6×5}{2}d=-3}\end{array}\right.$，…（2分）
所以$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=1}\\{{a}_{1}+\frac{5}{2}d=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，所以$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=7}\\{d=-3}\end{array}\right.$，…（4分）
從而a_n=10-3n；  …（6分）
（2）由（1）可知T_n=a_n²=（10-3n）²=9n²-60n+100，…（8分）
當n=1時，T₁=b₁=9-60+100=49；…（10分）
當n≥2時，b_n=T_n-T_n-1=（9n²-60n+100）-[9（n-1）²-60（n-1）+100]=18n-69，…（12分）
又∵當n=1時不滿足上式，
∴b_n=$\left\{\begin{array}{l}{49，n=1}\\{18n-69，n≥2}\end{array}\right.$．…（14分）

點評 本題考查數(shù)列的通項，考查分類討論的思想，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．