Question

3．設(shè)p：f（x）=lnx+$\frac{1}{3}$mx³-$\frac{3}{2}$x²+4x+1在$[{\frac{1}{6}，6}]$內(nèi)單調(diào)遞增，q：m≥$\frac{5}{9}$，則q是p的（　　）

• A． 充分不必要
• B． 必要不充分
• C． 充要
• D． 既不充分也不必要

Answer 1

分析 f′（x）=$\frac{1}{x}$+mx²-3x=$\frac{m{x}^{3}-3{x}^{2}+1}{x}$，由于f（x）在$[{\frac{1}{6}，6}]$內(nèi)單調(diào)遞增，可得f′（x）≥0，m≥$\frac{3{x}^{2}-1}{{x}^{3}}$=g（x），再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)g（x）的單調(diào)性，可得g（x）的最大值，即可判斷出結(jié)論．

解答 解：f′（x）=$\frac{1}{x}$+mx²-3x=$\frac{m{x}^{3}-3{x}^{2}+1}{x}$，
∵f（x）在$[{\frac{1}{6}，6}]$內(nèi)單調(diào)遞增，
∴f′（x）≥0，m≥$\frac{3{x}^{2}-1}{{x}^{3}}$=g（x），
g′（x）=$-\frac{3}{{x}^{2}}$+$\frac{3}{{x}^{4}}$=$\frac{3-3{x}^{2}}{{x}^{4}}$，
當(dāng)x∈$[\frac{1}{6}，1）$時(shí)，g′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（1，6]時(shí)，g′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．
∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)g（x）取得最大值g（1）=2．
∴m≥2．
則q是p的必要不充分條件．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、不等式的解法、函數(shù)的性質(zhì)、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．