Question

10．盒中裝有7個(gè)零件，其中4個(gè)是沒有使用過的，3個(gè)是使用過的．
（Ⅰ）從盒中每次隨機(jī)抽取1個(gè)零件，有放回的抽取3次（不使用），求3次抽取中恰有2次抽到使用過零件的概率；
（Ⅱ）從盒中任意抽取3個(gè)零件，使用后放回盒子中，設(shè)X為盒子中使用過零件的個(gè)數(shù)，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）記“從盒中隨機(jī)抽取一個(gè)零件，抽到的是使用過零件”為事件A，求出P（A）=$\frac{3}{7}$，由此能求出三次抽取中恰有2次抽到使用過零件的概率．
（Ⅱ）從盒中任意抽取三個(gè)零件，使用后放回盒子中，設(shè)此時(shí)盒子中使用過的零件個(gè)數(shù)為X，由已知X=3，4，5，6，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量X的分布列和E（X）．

解答 解：（Ⅰ）記“從盒中隨機(jī)抽取一個(gè)零件，抽到的是使用過零件”為事件A．（1分）
則P（A）=$\frac{3}{7}$．（3分）
所以三次抽取中恰有2次抽到使用過零件的概率p=${C}_{3}^{2}（\frac{3}{7}）^{2}（\frac{4}{7}）=\frac{108}{343}$．（5分）
（Ⅱ）從盒中任意抽取三個(gè)零件，使用后放回盒子中，設(shè)此時(shí)盒子中使用過的零件個(gè)數(shù)為X，
由已知X=3，4，5，6  （7分）
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{1}{35}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{4}^{1}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{12}{35}$，
P（X=5）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{4}^{2}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{18}{35}$，
P（X=6）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{7}^{3}}$=$\frac{4}{35}$，（10分）
隨機(jī)變量X的分布列為：

X	3	4	5	6
P	$\frac{1}{35}$	$\frac{12}{35}$	$\frac{18}{35}$	$\frac{4}{35}$

（11分）
E（X）=$3×\frac{1}{35}+4×\frac{12}{35}+5×\frac{18}{35}+6×\frac{4}{35}$=$\frac{33}{7}$．（12分）

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運(yùn)用．