Question

18．過P（-4，1）的直線l與雙曲線$\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$僅有一個公共點，則這樣的直線l的有2條．

Answer 1

分析 把直線與雙曲線的位置關(guān)系，轉(zhuǎn)化為方程組的解的個數(shù)來判斷，借助判別式求解．注意分類討論．

解答 解；當(dāng)k不存在時，直線為x=-4，與$\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$，有2個公共點，
當(dāng)k存在時，直線為：y=k（x+4）+1，代入雙曲線的方程可得：
（1-4k²）x²-（32k²+8k）x-64k²-32k-8=0，
（1）若1-4k²=0，k=±$\frac{1}{2}$，與雙曲線只有1個公共點，
（2）k≠±$\frac{1}{2}$時，△=（32k²+8k）²-4×（1-4k²）（-64k²-32k-8）=128k+32+192k²=0
方程無解．
綜上，過P（-4，1）的直線l與雙曲線$\frac{x^2}{4}-{y^2}=1$僅有一個公共點的直線2條．
故答案為：2．

點評 本題考查直線和雙曲線的位置關(guān)系，考查分類討論的思想方法，以及運算能力，屬于基礎(chǔ)題．