Question

9．已知F、A分別為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)，過F作x軸的垂線在第一象限與雙曲線交于點(diǎn)P，AP的延長(zhǎng)線與雙曲線在第一象限的漸近線交于點(diǎn)Q，若$\overrightarrow{AP}$=（2-$\sqrt{2}}$）$\overrightarrow{AQ}$，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 設(shè)出F，A的坐標(biāo)，令x=c代入雙曲線的方程，可得P的坐標(biāo)，求得AP的方程，聯(lián)立漸近線方程可得Q的坐標(biāo)，結(jié)合$\overrightarrow{AP}$=（2-$\sqrt{2}$）$\overrightarrow{AQ}$，可得c-a=（2-$\sqrt{2}$）（$\frac{a（c+a）}{a-b+c}$-a），進(jìn)而化簡(jiǎn)得到雙曲線的離心率．

解答 解：F，A分別為雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)和右頂點(diǎn)，
可設(shè)F點(diǎn)坐標(biāo)為（c，0），A（a，0），
過F作x軸的垂線，在第一象限與雙曲線交于點(diǎn)P，
令x=c，代入雙曲線的方程可得y=±b$\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}-1}$=±$\frac{^{2}}{a}$，
則P點(diǎn)坐標(biāo)為（c，$\frac{^{2}}{a}$），
則AP所在直線方程為：y=$\frac{\frac{^{2}}{a}}{c-a}$（x-a），即y=$\frac{c+a}{a}$（x-a），
聯(lián)立雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1的漸近線方程y=$\frac{a}$x得：
Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為$\frac{a（c+a）}{a-b+c}$，
∵$\overrightarrow{AP}$=（2-$\sqrt{2}$）$\overrightarrow{AQ}$，
∴c-a=（2-$\sqrt{2}$）（$\frac{a（c+a）}{a-b+c}$-a）=（2-$\sqrt{2}$）$\frac{ab}{a-b+c}$，
∴b²-b（c-a）=（2-$\sqrt{2}$）ab，
∴a+b-c=（2-$\sqrt{2}$）a，
∴b=（1-$\sqrt{2}$）a+c，
∴b²=（3-2$\sqrt{2}$）a²+c²+（2-2$\sqrt{2}$）ac=c²-a²，
∴（4-2$\sqrt{2}$）a²+（2-2$\sqrt{2}$）ac=0，
∴（4-2$\sqrt{2}$）a+（2-2$\sqrt{2}$）c=0，
∴（4-2$\sqrt{2}$）a=（2$\sqrt{2}$-2）c，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{4-2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}-2}$=$\sqrt{2}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，離心率的求法，注意運(yùn)用向量的共線的坐標(biāo)表示，考查運(yùn)算能力，難度中檔．