Question

3．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n=$\frac{n{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+2（n-1）}$，（n∈N^*，n≥2）
（1）求證：數(shù)列{$\frac{n}{{a}_{n}}$+1}為等比數(shù)列并求{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=（2ⁿ-1）a_n，數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n，數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}的前n項和為T_n，求證：a_n≤T_n．

Answer 1

分析 （1）利用a_n=$\frac{n{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+2（n-1）}$化簡可知$\frac{n+1}{{a}_{n+1}}$+1=2（$\frac{n}{{a}_{n}}$+1），進而計算可得結(jié)論；
（2）通過（1）裂項可知$\frac{1}{{S}_{n}}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），進而并項相加可知T_n=$\frac{2n}{n+1}$，比較分母即得結(jié)論．

解答 證明：（1）∵a_n=$\frac{n{a}_{n-1}}{{a}_{n-1}+2（n-1）}$，
∴$\frac{n+1}{{a}_{n+1}}$+1=$\frac{n+1}{\frac{（n+1）{a}_{n}}{{a}_{n}+2n}}$+1=$\frac{{a}_{n}+2n}{{a}_{n}}$+1=2（$\frac{n}{{a}_{n}}$+1），
∴數(shù)列{$\frac{n}{{a}_{n}}$+1}為等比數(shù)列，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$+1=2，
∴$\frac{n}{{a}_{n}}$+1=2ⁿ，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=$\frac{n}{-1+{2}^{n}}$；
（2）由（1）可知b_n=（2ⁿ-1）a_n=n，
則數(shù)列{b_n}的前n項和為S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∵$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=2（1-$\frac{1}{n+1}$）
=$\frac{2n}{n+1}$，
∵a_n=$\frac{n}{-1+{2}^{n}}$=$\frac{2n}{{2}^{n+1}-2}$，且當n≥2時，n+1≤2ⁿ⁺¹-2，
∴a_n≤T_n．

點評 本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查運算求解能力，對表達式的靈活變形是解決本題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．