Question

14．若偶函數(shù)f（x）=e${\;}^{-（x-m）^{2}}$（e是自然對數(shù)的底數(shù)）的最大值為n，則f（n^m+mⁿ）=$\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 令t=-（x-m）²，則原函數(shù)化為g（t）=e^t，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得原函數(shù)的增區(qū)間為（-∞，m），減區(qū)間為（m，+∞），即x=m時函數(shù)取得最大值n，由此求得n=1，f（x）=e${\;}^{-（x-m）^{2}}$是偶函數(shù)，可得m=0，即可得出結(jié)論．

解答 解：令t=-（x-m）²，則原函數(shù)化為g（t）=e^t，
內(nèi)函數(shù)t=-（x-m）²在（-∞，m）上為增函數(shù)，在（m，+∞）上為減函數(shù)，
又外函數(shù)g（t）=e^t為增函數(shù)，
∴原函數(shù)的增區(qū)間為（-∞，m），減區(qū)間為（m，+∞），
∴當(dāng)x=m時函數(shù)有最大值n=e⁰=1．
∵f（x）=e${\;}^{-（x-m）^{2}}$是偶函數(shù)，
∴m=0，
∴f（n^m+mⁿ）=f（1）=$\frac{1}{e}$．
故答案為：$\frac{1}{e}$．

點(diǎn)評 本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，復(fù)合的兩個函數(shù)同增則增，同減則減，一增一減則減，注意對數(shù)函數(shù)的定義域是求解的前提，考查學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題解決問題的能力，是中檔題．