Question

12．已知正六邊形ABCDEF中，G、H、I、J、K、L分別為AB、BC、CD、DE、EF、FA的中點，圓O為六邊形GHIJKL的內(nèi)切圓，則在正六邊形ABCDEF中投擲一點，該點不落在圓O內(nèi)的概率為（　�。�

• A． 1-$\frac{\sqrt{3}π}{6}$
• B． 1-$\frac{\sqrt{3}π}{8}$
• C． 1-$\frac{\sqrt{3}π}{9}$
• D． 1-$\frac{\sqrt{3}π}{12}$

Answer 1

分析 設(shè)正六邊形ABCDEF的邊長為a，利用余弦定理求出HG的長，再求出圓O的半徑R，計算對應(yīng)圓O的面積和正六邊形ABCDEF的面積，利用幾何概型的概率公式即可求出對應(yīng)的概率．

解答 解：設(shè)正六邊形ABCDEF的邊長為a，則

△BHG中，BH=BG=$\frac{1}{2}$a，∠B=120°，
∴HG²=BH²+BG²-2BH•BG•cos120°
=${（\frac{a}{2}）}^{2}$+${（\frac{a}{2}）}^{2}$-2×$\frac{a}{2}$×$\frac{a}{2}$×（-$\frac{1}{2}$）
=$\frac{3}{4}$a²，
∴HG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴圓O的半徑為R=$\frac{1}{2}$HG•$\sqrt{3}$=$\frac{3}{4}$a，
圓O的面積為S_圓=πR²=$\frac{9}{16}$πa²，
∴正六邊形ABCDEF的面積為
又S_{正六邊形ABCDEF}=6×S_△AOB=6×$\frac{{\sqrt{3}a}^{2}}{4}$=$\frac{3{\sqrt{3}a}^{2}}{2}$，
所求的概率為P=1-$\frac{{S}_{圓}}{{S}_{正六邊形ABCDEF}}$=1-$\frac{\frac{9}{16}{πa}^{2}}{\frac{3{\sqrt{3}a}^{2}}{2}}$=1-$\frac{\sqrt{3}π}{8}$．
故選：B．

點評 本題考查了利用幾何概型的概率公式計算對應(yīng)的概率問題，是基礎(chǔ)題目．