Question

15．在直角坐標(biāo)系xOy 中，曲線C₁的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+cos2α\\ y=\frac{1}{2}cosα\end{array}$（α為參數(shù)），在極坐標(biāo)系中，曲線C₂的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$
（1）求曲線C₂的普通方程
（2）設(shè)c₁與c₂相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的長．

Answer 1

分析 （1）用極坐標(biāo)公式，即可把曲線C₂的極坐標(biāo)方程化為普通方程；
（2）把曲線C₁的參數(shù)方程化為普通方程，利用直線與拋物線C₂的方程，
求出直線與拋物線沒有交點(diǎn)．

解答 解：（1）將曲線C₂的極坐標(biāo)方程$ρsin（θ-\frac{π}{4}）=\sqrt{2}$展開，
得：ρsinθ-ρcosθ=2，
化為普通方程是：y-x=2；①
（2）將C₁的參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}{x=1+cos2α}\\{y=\frac{1}{2}cosα}\end{array}\right.$，
∵x=1+2cos²α-1=2cos²α，
y²=$\frac{1}{4}$cos²α，
∴8y²=2cos²α，
化為普通方程是：
y²=$\frac{1}{8}$x②；
所以直線經(jīng)過該拋物線的焦點(diǎn)F（$\frac{1}{32}$，0）；
由①、②聯(lián)立，消去x得：
y²-$\frac{1}{8}$y+$\frac{1}{4}$=0；
∴△=${（\frac{1}{8}）}^{2}$-4×$\frac{1}{4}$=-$\frac{63}{64}$＜0，
∴c₁與c₂不會交于兩點(diǎn)．

點(diǎn)評 本題考查了直線與拋物線的應(yīng)用問題，也考查了參數(shù)方程與極坐標(biāo)的應(yīng)用問題，是綜合題．