Question

20．設(shè)$\overrightarrow{{e}_{1}}$、$\overrightarrow{{e}_{2}}$是兩個(gè)不共線的向量．若$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+10$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{BC}$=-2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+8$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{CD}$=3（$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$），試證：A，B，D三點(diǎn)共線．

Answer 1

分析 利用向量共線定理將點(diǎn)共線問題轉(zhuǎn)化為向量共線問題，關(guān)鍵要建立向量之間的倍數(shù)關(guān)系，用到向量運(yùn)算的基本知識．

解答 證明：∵$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+10$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{BC}$=-2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+8$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{CD}$=3（$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$），
∴$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CD}$=（-2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+8$\overrightarrow{{e}_{2}}$）+3（$\overrightarrow{{e}_{1}}$-$\overrightarrow{{e}_{2}}$）=$\overrightarrow{{e}_{1}}$+5$\overrightarrow{{e}_{2}}$，
∴$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{BD}$，
∴$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{BD}$共線，
∴A，B，D三點(diǎn)共線．

點(diǎn)評 本題考查向量線性運(yùn)算的基本知識，考查向量共線的判定方法，考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，即將點(diǎn)共線問題轉(zhuǎn)化為向量共線問題．