Question

13．已知定義在[0，+∞）的函數(shù)f（x）滿足f（x）=3f（x+2），當(dāng)x∈[0，2）時，f（x）=-x²+2x．設(shè)f（x）在[2n-2，2n）上的最大值為${a_n}，n∈{N^*}$，則{a_n}的前n項和S_n=$\frac{3}{2}[{1-{{（{\frac{1}{3}}）}^n}}]$．

Answer 1

分析 通過函數(shù)f（x）滿足f（x）=3f（x+2）可知函數(shù)向右平移2個單位時最大值變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{3}$，進而可知數(shù)列{a_n}是首項為1、公比為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列，計算即得結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù)f（x）滿足f（x）=3f（x+2），
∴f（x+2）=$\frac{1}{3}$f（x），即函數(shù)向右平移2個單位，最大值變?yōu)樵瓉淼?\frac{1}{3}$，
又∵當(dāng)x∈[0，2）時，f（x）=-x²+2x，
∴a₁=f（1）=1，
∴數(shù)列{a_n}是首項為1、公比為$\frac{1}{3}$的等比數(shù)列，
∴S_n=$\frac{1-\frac{1}{{3}^{n}}}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{3}{2}[{1-{{（{\frac{1}{3}}）}^n}}]$，
故答案為：$\frac{3}{2}[{1-{{（{\frac{1}{3}}）}^n}}]$．

點評 本題考查數(shù)列的前n項和，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．