Question

19．已知拋物線x²=4py（p＞0）的焦點為F，直線y=x+2與該拋物線交于A、B兩點，M是線段AB的中點，過M作x軸的垂線，垂足為N，若$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{BF}+（\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{BF}）•\overrightarrow{FN}=-1-{5p}^{2}$，則p的值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把y=x+2代入x²=4py得x²-4px-8p=0．利用韋達定理，結合向量的數(shù)量積公式，即可得出結論．

解答 解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把y=x+2代入x²=4py得x²-4px-8p=0．
由韋達定理得x₁+x₂=4p，x₁x₂=-8p，所以M（2p，2p+2），所以N點（2p，0）．
同理y₁+y₂=4p+4，y₁y₂=4
∵$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{BF}+（\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{BF}）•\overrightarrow{FN}=-1-{5P}^{2}$，
∴（-x₁，p-y₁）•（-x₂，p-y₂）+（-x₁-x₂，2p-y₁-y₂）•（2p，-p）=-1-5p²，
代入整理可得4p²+8p-5=0，
∴p=$\frac{1}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．