Question

16．在△ABC中，A=120°，AB=4，若點(diǎn)D在邊BC上，且$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{DC}$，AD=$\frac{2\sqrt{7}}{3}$，則AC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 畫(huà)出圖形，結(jié)合圖形，利用$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{DC}$，得出$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$=2（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AD}$），再利用平面向量的數(shù)量積求出|$\overrightarrow{AC}$|即可．

解答 解：如圖所示：

△ABC中，∠BAC=120°，AB=4，點(diǎn)D在邊BC上，$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{DC}$，
∴$\overrightarrow{BD}$=$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$，
$\overrightarrow{DC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AD}$，
∴$\overrightarrow{AD}$-$\overrightarrow{AB}$=2（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AD}$），
∴3$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AB}$，
兩邊平方得9${\overrightarrow{AD}}^{2}$=4${\overrightarrow{AC}}^{2}$+4$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$+${\overrightarrow{AB}}^{2}$，
又AD=$\frac{2\sqrt{7}}{3}$，
∴9×${（\frac{2\sqrt{7}}{3}）}^{2}$=4${\overrightarrow{AC}}^{2}$+4×|$\overrightarrow{AC}$|×4×cos120°+4²，
化簡(jiǎn)得${|\overrightarrow{AC}|}^{2}$-2|$\overrightarrow{AC}$|-3=0，
解得|$\overrightarrow{AC}$|=3或|$\overrightarrow{AC}$|=-1（不合題意舍去），
∴AC的長(zhǎng)為3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算求三角形邊長(zhǎng)的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目