5.已知函數(shù)$f(x)=\sqrt{3}sin2x+cos2x+3$.
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期與單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,若$a=\sqrt{3}$,f(A)=4,求b+c的值.

分析 (I)f(x)=$2(\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x)$+3=$2sin(2x+\frac{π}{6})$+3,利用正弦函數(shù)的周期性與單調(diào)性即可得出.
(II)由f(A)=4,可得:$2sin(2A+\frac{π}{6})$+3=4,化為$sin(2A+\frac{π}{6})$=$\frac{1}{2}$,利用0<A<π,可得$2A+\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$,解得A值.可得B+C=$\frac{2π}{3}$.由正弦定理可得:b+c=2(sinB+sinC)=$2\sqrt{3}sin(B+\frac{π}{6})$,即可得出.

解答 解:(I)f(x)=$2(\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x+\frac{1}{2}cos2x)$+3=$2sin(2x+\frac{π}{6})$+3,
∴f(x)的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π.
由$2kπ-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$,解得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$,(k∈Z),
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為$[kπ-\frac{π}{3},\frac{π}{6}+kπ]$,(k∈Z).
(II)由f(A)=4,可得:$2sin(2A+\frac{π}{6})$+3=4,化為$sin(2A+\frac{π}{6})$=$\frac{1}{2}$,
∵0<A<π,∴$\frac{π}{6}$<2A+$\frac{π}{6}$<$\frac{13π}{6}$,
∴$2A+\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$,解得A=$\frac{π}{3}$.∴B+C=$\frac{2π}{3}$.
由正弦定理可得:$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}$=$\frac{\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}}$=2.
∴b+c=2(sinB+sinC)=2(sinB+sin$(\frac{π}{3}+B)$)=$2\sqrt{3}sin(B+\frac{π}{6})$$≤2\sqrt{3}$.

點評 本題考查了和差公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)求值、正弦定理,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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