Question

13．過拋物線y²=4x的焦點的直線與拋物線交于A，B兩個不同的點，當(dāng)|AB|=6時，△OAB（O為坐標(biāo)原點）的面積是（　　）

• A． $\sqrt{10}$
• B． $\sqrt{6}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），并將直線設(shè)為x=my+1，代入拋物線y²=4x，運用拋物線定義和韋達定理計算x₁+x₂和y₁-y₂的值，再由△OAB（O為坐標(biāo)原點）的面積S=$\frac{1}{2}$|OF||y₁-y₂|得到答案．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
拋物線y²=4x焦點F坐標(biāo)為（1，0），準(zhǔn)線方程為x=-1
依據(jù)拋物線定義，|AB|=x₁+x₂+2=6，
∴x₁+x₂=4，
設(shè)直線方程為x=my+1代入y²=4x，
得y²-4my-4=0
∴y₁y₂=-4
∵y₁²+y₂²=（y₁-y₂）²+2y₁y₂=（y₁-y₂）²-8=4（x₁+x₂）=16，
∴y₁-y₂=±2$\sqrt{6}$，
△OAB（O為坐標(biāo)原點）的面積S=$\frac{1}{2}$|OF||y₁-y₂|=$\sqrt{6}$，
故選：B．

點評 本題考查了拋物線的定義和直線與拋物線的關(guān)系，解題時要認(rèn)真體會拋物線定義和韋達定理在解題中的重要應(yīng)用．