Question

11．已知（$\frac{1}{2}$）^x=$\frac{2a-1}{5a+2}$，試求實數(shù)a的取值范圍，使得
（1）方程有解；
（2）方程有正根；
（3）方程有不小于1的解．

Answer 1

分析 （1）由指數(shù)函數(shù)的值域，解不等式$\frac{2a-1}{5a+2}$＞0，即可得到a的范圍；
（2）由x＞0時，0＜（$\frac{1}{2}$）^x＜1，解不等式0＜$\frac{2a-1}{5a+2}$＜1，即可得到a的范圍；
（3）由x≥1可得0＜（$\frac{1}{2}$）^x≤$\frac{1}{2}$，解不等式0＜$\frac{2a-1}{5a+2}$≤$\frac{1}{2}$，即可得到a的范圍．

解答 解：（1）由x∈R，即有（$\frac{1}{2}$）^x＞0，
即為$\frac{2a-1}{5a+2}$＞0，解得a＞$\frac{1}{2}$或a＜-$\frac{2}{5}$；
（2）由x＞0時，0＜（$\frac{1}{2}$）^x＜1，
∵關于x的方程（$\frac{1}{2}$）^x=$\frac{2a-1}{5a+2}$有正根，
∴0＜$\frac{2a-1}{5a+2}$＜1，
即為$\frac{2a-1}{5a+2}$＞0，且$\frac{a+1}{5a+2}$＞0，
解得a＞$\frac{1}{2}$或a＜-1，
則有a的范圍是（-∞，-1）∪（$\frac{1}{2}$，+∞）；
（3）由x≥1可得0＜（$\frac{1}{2}$）^x≤$\frac{1}{2}$，
∴0＜$\frac{2a-1}{5a+2}$≤$\frac{1}{2}$，
由$\frac{2a-1}{5a+2}$＞0可得a＞$\frac{1}{2}$或a＜-$\frac{2}{5}$，
由$\frac{2a-1}{5a+2}$≤$\frac{1}{2}$，可得a＞-$\frac{2}{5}$或a≤-4．
即有a＞$\frac{1}{2}$或a≤-4．
則有a的范圍是（-∞，-4]∪（$\frac{1}{2}$，+∞）．

點評 本題主要考查了利用指數(shù)函數(shù)的單調性求函數(shù)的值域，分式不等式的求解，屬于知識的簡單綜合．