Question

4．已知動圓M過點P（0，2），且在x軸上截得的弦AB的長為4．
（1）求動圓圓心M的軌跡C的方程；
（2）過點（-1，1）的直線l與軌跡C有且只有一個公共點，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設圓心為M（x，y），線段AB的中點為D，依題意得|MP|²=|MA|²=|AD|²+|MD|²，由此能求出動圓圓心的軌跡C的方程；
（2）由過點（-1，1）的直線l與軌跡C有且只有一個公共點，則直線l必與拋物線的對稱軸平行，即l的斜率不存在，由此能夠求得直線l的方程．

解答 解：（1）設圓心為M（x，y），線段AB的中點為D，則|AD|=$\frac{|AB|}{2}$，
依題意得|MP|²=|MA|²=|AD|²+|MD|²，
∴x²+（y-2）²=2²+y²，整理，得x²=4y，
∴動圓圓心的軌跡C的方程為x²=4y；
（2）∵點（-1，1）在拋物線x²=4y內(nèi)部，
∴若過點（-1，1）的直線l與軌跡C有且只有一個公共點，則直線l必與拋物線的對稱軸平行，即l的斜率不存在，
∴直線l的方程為x=-1．

點評 本題考查動圓圓心的軌跡方程的求法，考查直線與圓錐曲線的位置關系，體現(xiàn)了數(shù)形結合的解題思想方法，是中檔題．