Question

2．給出下列命題：
①函數(shù)$f（x）=4cos（2x+\frac{π}{3}）$的一個(gè)對(duì)稱中心為$（-\frac{5}{12}π，0）$
②已知：f（x）=min{sinx，cosx}，則f（x）的值域?yàn)?[-1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$
③若α，β均為第一象限角，且α＞β，則sinα＞sinβ
④若${（\frac{1}{2}）^a}={（\frac{1}{3}）^b}$，則a＞b＞0
⑤定義域?yàn)镽的函數(shù)y=f（x）滿足f（-x）+f（x+2）=2，則其圖象關(guān)于點(diǎn)（1，1）對(duì)稱
其中正確命題的序號(hào)是①②⑤（寫出所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析 ①令2x+$\frac{π}{3}$=$kπ+\frac{π}{2}$，解得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，令k=-1，即可判斷出正誤；
②f（x）=min{sinx，cosx}，畫出一個(gè)周期的圖象，即可判斷出正誤；
③不正確，舉反例：$α=2π+\frac{π}{6}$，$β=\frac{π}{3}$；
④若${（\frac{1}{2}）^a}={（\frac{1}{3}）^b}$，如圖所示：即可判斷出正誤；
⑤定義域?yàn)镽的函數(shù)y=f（x）：則點(diǎn)（-x，f（-x））關(guān)于點(diǎn)（1，1）對(duì)稱的點(diǎn)為（2+x，f（2+x）），由于滿足f（-x）+f（x+2）=2，即可判斷出函數(shù)f（x）的圖象的對(duì)稱性．

解答 解：①令2x+$\frac{π}{3}$=$kπ+\frac{π}{2}$，解得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，令k=-1，可得x=$-\frac{5π}{12}$，因此函數(shù)$f（x）=4cos（2x+\frac{π}{3}）$的一個(gè)對(duì)稱中心為$（-\frac{5}{12}π，0）$，正確；
②f（x）=min{sinx，cosx}，畫出一個(gè)周期的圖象，則f（x）的值域?yàn)?[-1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}]$，正確；
③若α，β均為第一象限角，且α＞β，則sinα＞sinβ，不正確，舉反例：$α=2π+\frac{π}{6}$，$β=\frac{π}{3}$；
④若${（\frac{1}{2}）^a}={（\frac{1}{3}）^b}$，如圖所示：
則a＞b＞0，或a=b=0，或 a＜b＜0，因此不正確；
⑤定義域?yàn)镽的函數(shù)y=f（x）：則點(diǎn)（-x，f（-x））關(guān)于點(diǎn)（1，1）對(duì)稱的點(diǎn)為
（2+x，f（2+x）），由于滿足f（-x）+f（x+2）=2，因此其圖象關(guān)于點(diǎn)（1，1）對(duì)稱，正確．
其中正確命題的序號(hào)是①②⑤．
故答案為：①②⑤．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)的圖象與單調(diào)性、函數(shù)對(duì)稱性、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了數(shù)形結(jié)合思想方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．