Question

7．設奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，且f（2）=0，則不等式$\frac{f（x）+2f（-x）}{x}$＜0的解集為（　�。�

• A． （-∞，-2）∪（0，2）
• B． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• C． （-2，0）∪（0，2）
• D． （-2，0）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調性之間的關系即可得到結論．

解答 解：∵奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，且f（2）=0，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0）上為減函數(shù)，且f（-2）=f（2）=0，
作出函數(shù)f（x）的草圖如圖：
∵f（x）是奇函數(shù)，∴不等式等價為$\frac{f（x）-2f（x）}{x}=\frac{-f（x）}{x}＜0$，即$\frac{f（x）}{x}$＞0，
即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$，
則0＜x＜2或-2＜x＜0，
故不等式$\frac{{f（x）-f（{-x}）}}{x}$＞0的解集是（-2，0）∪（0，2），
故選：C．

點評 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調性之間的關系，利用數(shù)形結合是解決本題的關鍵．