Question

14．在△ABC中，角A，B，C滿足ccosB=（2a-b）cosC．
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC是銳角三角形，求函數(shù)y=2sinB-cos2B的值域；
（3）在三角形ABC中，設(shè)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若c=1，求△ABC周長(zhǎng)的范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦定理與兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)題中的等式可得sin（B+C）-2sinAcosC，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式算出cosC=$\frac{1}{2}$，可得角C的大�。�
（2）運(yùn)用二倍角公式得出y=2sinB²+2sinB-1，再運(yùn)用二次函數(shù)性質(zhì)求解即可．
（3）根據(jù)題意得出：ABC周長(zhǎng)=1+b+a，利用正弦定理，三角公式化簡(jiǎn)得出1+$\frac{2}{\sqrt{3}}$（sinB+sinA）=1+$\frac{2}{\sqrt{3}}$（sinB+sin（$\frac{2π}{3}$-B））=1$+2sin（B+\frac{π}{6}$）求解即可．

解答 解：（1）∵在△ABC中，ccosB=（2a+b）cosC，
∴由正弦定理，可得sinCcosB=（2sinA-sinB）cosC，
即sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosC，所以sin（B+C）=2sinAcosC，
∵△ABC中，sin（B+C）=sin（π-A）=sinA＞0，
∴sinA=2sinAcosC，即sinA（1-2cosC）=0，可得cosC=$\frac{1}{2}$．
又∵C是三角形的內(nèi)角，∴C=$\frac{π}{3}$；
（2）B+C=$\frac{2π}{3}$，
∵△ABC是銳角三角形
∴$\frac{π}{6}$$＜B＜\frac{π}{2}$，$\frac{1}{2}$＜sinB＜1，
函數(shù)y=2sinB-cos2B=2sinB²+2sinB-1，
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得出：$\frac{1}{2}$＜y＜3，
∴值域（$\frac{1}{2}$，3）；
（3）∵c=1，C=$\frac{π}{3}$，
∴根據(jù)正弦定理得出：$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2R，
2R=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，0$＜B＜\frac{2π}{3}$，
根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)得出：1$＜2sin（B+\frac{π}{6}）$≤2，2＜1$+2sin（B+\frac{π}{6}$）≤3，
△ABC周長(zhǎng)的范圍：（2，3]．

點(diǎn)評(píng) 本題給出三角形的一邊長(zhǎng)與邊角關(guān)系式，求角C的大小并依此求三角形面積的最大值．著重考查了正余弦定理、兩角和的正弦公式三角函數(shù)的圖象性質(zhì)，屬于中檔題