7.若非零函數(shù)f(x)對任意實數(shù)a,b均有f(a+b)=f(a)•f(b),且當(dāng)x<0時,f(x)>1.
(1)求證:f(x)>0;      
(2)求證:f(x)為減函數(shù);
(3)當(dāng)f(2)=$\frac{1}{4}$時,解不等式f(x-3)•f(5)≤$\frac{1}{4}$.

分析 (1)根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系進行證明即可.
(2)根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義即可證明f(x)在R上為減函數(shù);
(2)利用函數(shù)的單調(diào)性,將不等式進行轉(zhuǎn)化即可解不等式即可.

解答 解:(1):f(x)=f($\frac{x}{2}$+$\frac{x}{2}$)=f($\frac{x}{2}$)f($\frac{x}{2}$)=f2($\frac{x}{2}$)>0,
(2)x1,x2∈R,且x1<x2,則x1-x2<0,
∴f(x1-x2)=$\frac{f({x}_{1})}{f({x}_{2})}>1$,
∵對任意的x,y∈R,總有f(x)>0,
∴f(x1)>f(x2),
即f(x)在R上為減函數(shù).
(3)由f(4)=f(2)f(2)=$\frac{1}{16}$,得f(2)=$\frac{1}{4}$,
原不等式轉(zhuǎn)化為f(x-3+5)≤f(2),
結(jié)合(2)得:x+2≥2,得x≥0,
 故不等式的解集為[0,+∞).

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷以及函數(shù)最值的求解,根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系,利用賦值法是解決抽象函數(shù)的基本方法,

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

17.已知函數(shù)f(x)=log2x+2,則方程f(x)-f′(x)=2的根所在的區(qū)間為( 。
A.(0,$\frac{1}{2}$)B.($\frac{1}{2}$,1)C.(1,2)D.(2,3)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

18.分別求滿足下列條件的直線l方程.
(1)將直線l1:y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1繞(0,1)點逆時針旋轉(zhuǎn)$\frac{π}{6}$得到直線l;
(2)直線l過直線l1:x+3y-1=0與l2:2x-y+5=0的交點,且點A(2,1)到l的距離為2$\sqrt{2}$.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

15.設(shè)集合A={4,5,7,9},B={3,4,5,7,8,9},則集合∁BA中的元素的個數(shù)為( 。
A.2B.3C.4D.5

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2-kt}\\{y=t}\end{array}\right.$(t為參數(shù)),以O(shè)為極點,Ox為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線C的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ=sinθ.
(1)寫出直線l和曲線C的普通方程:
(2)若直線l和曲線C有兩個不同的交點,求實數(shù)k的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

12.已知直線l的傾斜角為30°,(結(jié)果化成一般式)
(1)若直線l過點P(3,-4),求直線l的方程.
(2)若直線l在x軸上截距為-2,求直線l的方程.
(3)若直線l在y軸上截距為3,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

19.若函數(shù)y=2-x+m的圖象不經(jīng)過第一象限,則m的取值范圍是(-∞,-1].

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

16.已知向量$\overrightarrow{a}$=(2cos2x,1),$\overrightarrow$=(2cos(2x-$\frac{π}{3}$),-1).令f(x)=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$.
(1)求f(x)的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間.
(2)若f($\frac{1}{4}$θ)=$\frac{2}{3}$,且θ∈($\frac{π}{6}$,$\frac{5π}{6}$),求cosθ的值.
(2)當(dāng)x∈[$\frac{π}{4}$,$\frac{π}{2}$]時,求f(x)的最小值以及取得最小值時x的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

17.函數(shù)f(x)滿足f(cosx)=$\frac{1}{2}$x(0≤x≤π),則f(sin$\frac{4π}{3}$)=$\frac{5π}{12}$.

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