Question

4．已知拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，并且頂點到準線的距離等于2．
（1）求這個拋物線的標準方程；
（2）當拋物線開口向右時，直線y=x+m與拋物線交于兩不同的點，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）依題意，可設(shè)拋物線的方程為y²=±2px（p＞0），由頂點到準線的距離等于，可求得p=2，從而可得答案；（2）直線y=x+m與拋物線y²=4x聯(lián)立，根據(jù)直線y=x+m與拋物線交于兩不同的點，利用判別式，即可求m的取值范圍．

解答 解：（1）：∵拋物線的頂點在原點，對稱軸是x軸，
∴拋物線的方程為y²=2px（p＞0）或y²=-2px（p＞0），
又頂點到準線的距離等于2，
∴p=2，
∴拋物線的方程為：y²=4x或y²=-4x；    
 （2）直線y=x+m與拋物線y²=4x聯(lián)立，可得x²+（2m-4）x+m²=0，
∵直線y=x+m與拋物線交于兩不同的點，
∴△=（2m-4）²-4m²＞0．

點評 本題考查拋物線的標準方程，確定拋物線的方程為y²=±2px（p＞0）是關(guān)鍵，考查對拋物線標準方程的性質(zhì)理解與應(yīng)用，屬于中檔題．