Question

16．已知實數(shù)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{2x-y≤2}\\{x-y≥-1}\\{x+y≥1}\end{array}\right.$，若目標函z=2x+ay，僅在點（3，4）取得最小值，則a的取值范圍是a＜-2．

Answer 1

分析 作出不等式對應的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，確定目標取最優(yōu)解的條件，即可求出a的取值范圍．

解答 解：作出不等式對應的平面區(qū)域，
若a=0，則目標函數(shù)為z=2x，即此時函數(shù)在A（3，4）時取得最大值，不滿足條件．
當a≠0，由z=2x+ay得y=-$\frac{2}{a}$x+$\frac{z}{a}$，
若a＞0，目標函數(shù)斜率-$\frac{2}{a}$＜0，
此時平移y=-$\frac{2}{a}$x+$\frac{z}{a}$，得y=-$\frac{2}{a}$x+$\frac{z}{a}$在點A（3，4）處的截距最大，此時z取得最大值，不滿足條件．
若a＜0，目標函數(shù)斜率-$\frac{2}{a}$＞0，
要使目標函數(shù)z=2x+ay僅在點A（3，4）處取得最小值，
則-$\frac{2}{a}$＜k_AB=1，
即a＜-2，
故答案為：a＜-2

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用數(shù)形結合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．根據(jù)條件目標函數(shù)z=2x+ay，僅在點（3，4）取得最小值，確定直線的位置是解決本題的關鍵．