Question

5．若鈍角三角形ABC的三個內(nèi)角滿足：∠A＜∠B＜∠C，2∠B=∠A+∠C，且最大邊長與最小邊長的比值為m，則m的取值范圍是（2，+∞）．

Answer 1

分析 由題意可得B=60°，A+C=120°，由正弦定理結(jié)合題意可得 m=$\frac{c}{a}=\frac{sinC}{sinA}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cotA+$\frac{1}{2}$，由于鈍角三角形中，C大于90° 可得0＜A＜30°，利用余切函數(shù)的單調(diào)性可得答案．

解答 解：在△ABC中，∵∠A＜∠B＜∠C，2∠B=∠A+∠C，
∴B=60°，A+C=120°．
由正弦定理可得：$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，
根據(jù)題意可得：m=$\frac{c}{a}=\frac{sinC}{sinA}$．
由于鈍角三角形中，C大于90°，
可得：0°＜A＜30°，
解得：m=$\frac{c}{a}=\frac{sinC}{sinA}$=$\frac{sin（120°-A）}{sinA}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cotA+$\frac{1}{2}$，
由于$\sqrt{3}$＜cotA＜+∞，
∴m＞2，即m的取值范圍是：（2，+∞）．
故答案為：（2，+∞）．

點評 本題考查正弦定理的應(yīng)用，大角對大邊，正弦函數(shù)的值域，化m=$\frac{c}{a}=\frac{sinC}{sinA}$=$\frac{sin（120°-A）}{sinA}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cotA+$\frac{1}{2}$，是解題的關(guān)鍵．