Question

8．求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：
（1）y=$\frac{{k}^{2}}{x}$+x（k＞0）；
（2）y=x²（1-x）³．

Answer 1

分析 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）y=$\frac{{k}^{2}}{x}$+x（k＞0）的定義域?yàn)椋?∞，0）∪（0，+∞），
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y′=1-$\frac{{k}^{2}}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-{k}^{2}}{{x}^{2}}$，
由y′＞0得x²＞k²，得x＞k或x＜-k，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-k），（k，+∞），
由y′＜0得x²＜k²，得-k＜x＜0，0＜x＜k，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減區(qū)間為（-k，0），（0，k）．
（2）解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為y′=f′（x）=2x（1-x）³-3x²（1-x）²=x（2-5x）（1-x）²，
由f′（x）=x（2-5x）（1-x）²＞0，解得0＜x＜$\frac{2}{5}$，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
由f′（x）=x（2-5x）（1-x）²＜0，解得x＜0，或x＞$\frac{2}{5}$且x≠1，
當(dāng)x=1時(shí)，f′（1）=0，此時(shí)不影響函數(shù)的單調(diào)性，
即函數(shù)的遞減區(qū)間為（-∞，0），（$\frac{2}{5}$，+∞），遞增區(qū)間為（0，$\frac{2}{5}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性和單調(diào)區(qū)間的判斷，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵