Question

4．已知數(shù)列{a_n}：$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{5}$，-$\frac{2}{3}$，…
（1）寫出數(shù)列的通項公式；
（2）計算a₁₀，a₁₅，a_2n+1；
（3）證明；數(shù)列{|a_n|}是遞增數(shù)列．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)數(shù)列項的規(guī)律即可寫出數(shù)列的通項公式；
（2）根據(jù)通項公式即可計算a₁₀，a₁₅，a_2n+1；
（3）求出數(shù)列{|a_n|}的通項公式，是遞增數(shù)列．

解答 解：（1）$\frac{1}{3}$，-$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{5}$，-$\frac{2}{3}$，…等價為$\frac{1}{3}$，-$\frac{2}{4}$，$\frac{3}{5}$，-$\frac{4}{6}$，…
則數(shù)列的通項公式為a_n=（-1）ⁿ⁺¹•$\frac{n}{n+2}$．
（2）a₁₀=（-1）¹¹•$\frac{10}{12}$=-$\frac{5}{6}$，．a(chǎn)₁₅=（-1）¹⁶•$\frac{15}{17}$=$\frac{15}{17}$，．
a_2n+1=（-1）²ⁿ⁺¹⁺¹•$\frac{2n+1}{2n+3}$=$\frac{2n+1}{2n+3}$．
（3）∵a_n=（-1）ⁿ⁺¹•$\frac{n}{n+2}$．
∴|a_n|=$\frac{n}{n+2}$=$\frac{n+2-2}{n+2}$=1-$\frac{2}{n+2}$，
則y=1-$\frac{2}{n+2}$在[1，+∞）上為增函數(shù)，
∴數(shù)列{|a_n|}是遞增數(shù)列．

點評 本題主要考查函數(shù)通項公式的求解以及函數(shù)單調(diào)性的判斷，利用數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)，通過觀察法求出數(shù)列的通項公式是解決本題的關(guān)鍵．