Question

18．已知函數(shù)f（x）=2Asin（ωx+φ）cos（ωx+φ）+2Asin²（ωx+φ）-A（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象如圖所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若A是銳角三角形的最大內(nèi)角，求f（A）的值域．

Answer 1

分析 （1）先利用倍角公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)整理求得f（x）=$\sqrt{2}$Asin（2ωx+2φ-$\frac{π}{4}$），由函數(shù)圖象觀察可知A，由周期公式得ω，由（$\frac{π}{3}$，2）在函數(shù)圖象上，又|φ|＜$\frac{π}{2}$，可得φ，從而可求f（x）的解析式．
（2）根據(jù)A的范圍確定2x-$\frac{π}{6}$的范圍，進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最大和最小值，答案可得．

解答 解：（1）f（x）=2Asin（ωx+φ）cos（ωx+φ）+2Asin²（ωx+φ）-A
=Asin（2ωx+2φ）-Acos（2ωx+2φ）
=$\sqrt{2}$Asin[（2ωx+2φ）-$\frac{π}{4}$]
=$\sqrt{2}$Asin（2ωx+2φ-$\frac{π}{4}$）；
由函數(shù)圖象觀察可知，$\sqrt{2}$A=2，可解得：A=$\sqrt{2}$，T=$\frac{2π}{2ω}$=4（$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{3}$），可解得：ω=1．
由（$\frac{π}{3}$，2）在函數(shù)圖象上，可得：2=$\sqrt{2}$Asin（2×$\frac{π}{3}$+2φ-$\frac{π}{4}$），可得：2×$\frac{π}{3}$+2φ-$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．
又|φ|＜$\frac{π}{2}$，故可解得：φ=$\frac{π}{24}$．
故f（x）的解析式為：f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
（2）由已知有A∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$），
∴$\frac{π}{2}$≤2A-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$．
∴1＜2sin（2A-$\frac{π}{6}$）≤2．
即f（A）的取值范圍是（1，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，三角函數(shù)的周期性及其求法，兩角和公式的化簡(jiǎn)求值．考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力，屬于基本知識(shí)的考查．