Question

20．設(shè)函數(shù)f（x）=a|2x-1|-|x+2|．
（1）若a=1，求不等式（x）＞x-1的解集；
（2）若函數(shù)f（x）在x=-2處存在唯一的最大值，求a的值．

Answer 1

分析 （1）將a=1代入f（x），通過討論x的范圍，去掉絕對值號，解不等式即可；
（2）若函數(shù)f（x）在x=-2處存在唯一的最大值，則f（x）在（-∞，-2）遞增，在（$\frac{1}{2}$，+∞）遞減，且f（2）＞f（$\frac{1}{2}$），得到關(guān)于a的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）a=1時：f（x）=|2x-1|-|x+2|＞x-1，
①x≤-2時：不等式可化為：1-2x+x+2＞x-1，解得：x＜2，
②-2＜x＜$\frac{1}{2}$時：不等式可化為：1-2x-x-2＞x-1，解得：-2＜x＜0，
③x≥$\frac{1}{2}$：不等式可化為：2x-1-x-2＞x-1，無解，
綜上：不等式的解集是：x＜0．
（2）若函數(shù)f（x）在x=-2處存在唯一的最大值，
則f（x）在（-∞，-2）遞增，在（$\frac{1}{2}$，+∞）遞減，且f（2）＞f（$\frac{1}{2}$），
而x＜-2時：f（x）=-a（2x-1）+x+2=（1-2a）x+a+2，
x＞$\frac{1}{2}$時：f（x）=a（2x-1）-x-2=（2a-1）x-a-2，
f（2）=-3a+4，f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{5}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-2a＞0}\\{2a-1＜0}\\{-3a+4＞-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，解得：a＜$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查函數(shù)的單調(diào)性問題，是一道中檔題．