Question

1．設(shè)拋物線E：y²=2px（p＞0）的焦點為F，點M為拋物線E上一點，|MF|的最小值為3，若點P為拋物線E上任意一點，A（4，1），則|PA|+|PF|的最小值為（　�。�

• A． 4+$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． 7
• C． 4+2$\sqrt{3}$
• D． 10

Answer 1

分析 先求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，得焦點F的坐標(biāo)，再設(shè)點P在準(zhǔn)線上的射影為D，則根據(jù)拋物線的定義可知|PF|=|PD|進而把問題轉(zhuǎn)化為求|PA|+|PD|取得最小，進而可推斷出當(dāng)D，P，A三點共線時|PA|+|PD|最小，答案可得．

解答 解：由題意，|MF|的最小值為3，
∴$\frac{p}{2}$=3，
∴p=6，
∴拋物線E：y²=12x，
拋物線y²=12x的焦點F的坐標(biāo)是（3，0 ）；
設(shè)點P在準(zhǔn)線上的射影為D，則根據(jù)拋物線的定義可知|PF|=|PD|，
∴要求|PA|+|PF|取得最小值，即求|PA|+|PD|取得最小，
當(dāng)D，P，A三點共線時|PA|+|PD|最小，為4-（-3）=7，
故選：B．

點評 本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，判斷當(dāng)D，P，A三點共線時|PA|+|PD|最小，是解題的關(guān)鍵．