Question

13．已知非零向量$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$滿足$\left|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}\right|=\left|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}\right|=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}\left|{\overrightarrow a}\right|$，則$\overrightarrow a+\overrightarrow b$與$\overrightarrow a-\overrightarrow b$的夾角為（　�。�

• A． $\frac{5π}{6}$
• B． $\frac{π}{6}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{π}{3}$

Answer 1

分析 對$\left|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}\right|=\left|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}\right|=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}\left|{\overrightarrow a}\right|$平方得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$，${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}$=$\frac{4}{3}{\overrightarrow{a}}^{2}$．從而得到${\overrightarrow}^{2}$=$\frac{1}{3}{\overrightarrow{a}}^{2}$．計(jì)算（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$）=${\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow}^{2}$=$\frac{2}{3}{\overrightarrow{a}}^{2}$．代入向量的夾角公式計(jì)算夾角的余弦．

解答 解：∵$\left|{\overrightarrow a+\overrightarrow b}\right|=\left|{\overrightarrow a-\overrightarrow b}\right|=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}\left|{\overrightarrow a}\right|$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=0$，${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow}^{2}$=$\frac{4}{3}{\overrightarrow{a}}^{2}$．
∴${\overrightarrow}^{2}$=$\frac{1}{3}{\overrightarrow{a}}^{2}$．
∴（$\overrightarrow{a}+\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$）=${\overrightarrow{a}}^{2}-{\overrightarrow}^{2}$=$\frac{2}{3}{\overrightarrow{a}}^{2}$．
∴cos＜$\overrightarrow{a}+\overrightarrow，\overrightarrow{a}-\overrightarrow$＞=$\frac{\frac{2}{3}|\overrightarrow{a}{|}^{2}}{\frac{4}{3}|\overrightarrow{a}{|}^{2}}=\frac{1}{2}$．
∴＜$\overrightarrow{a}+\overrightarrow，\overrightarrow{a}-\overrightarrow$＞=$\frac{π}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，夾角計(jì)算，屬于中檔題．