Question

11．某中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與課外體育鍛煉時間的關(guān)系，對該校200名學(xué)生的課外體育鍛煉平均每天運動的時間（單位：分鐘）進行調(diào)查，將收集到的數(shù)據(jù)分成[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60）六組，并作出頻率分布直方圖（如圖）．將日均課外體育鍛煉時間不低于40分鐘的學(xué)生評價為“課外體育達(dá)標(biāo)”．
（1）請根據(jù)直方圖中的數(shù)據(jù)填寫下面的2×2列聯(lián)表，并通過計算判斷是否能在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認(rèn)為“課外體育達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)？

	課外體育不達(dá)標(biāo)	課外體育達(dá)標(biāo)	合計
男	60	30	90
女	90	20	110
合計	150	50	200

（2）現(xiàn)按照“課外體育達(dá)標(biāo)”與“課外體育不達(dá)標(biāo)”進行分層抽樣，抽取12人，再從這12名學(xué)生中隨機抽取3人參加體育知識問卷調(diào)查，記“課外體育達(dá)標(biāo)”的人數(shù)為ξ，求ξ得分布列和數(shù)學(xué)期望．
附參考公式與數(shù)據(jù)：K²=$\frac{n（{ad-bc）}^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥k0）	0.10	0.05	0.010	0.005	0.001
k0	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （1）由題意得“課外體育達(dá)標(biāo)”人數(shù)為50，則不達(dá)標(biāo)人數(shù)為150，由此列聯(lián)表，求出K²=$\frac{200}{33}≈6.060＜6.635$，從而得到在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下沒有理由認(rèn)為“課外體育達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)．
（2）由題意得在不達(dá)標(biāo)學(xué)生中抽取的人數(shù)為9人，在達(dá)標(biāo)學(xué)生中抽取人數(shù)為3人，則ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．

解答 解：（1）由題意得“課外體育達(dá)標(biāo)”人數(shù)為：
200×[（0.02+0.005）×10]=50，
則不達(dá)標(biāo)人數(shù)為150，
∴列聯(lián)表如下：

	課外體育不達(dá)標(biāo)	課外體育達(dá)標(biāo)	合計
男	60	30	90
女	90	20	110
合計	150	50	200

∴K²=$\frac{200×（60×20-30×90）^{2}}{150×50×90×110}$=$\frac{200}{33}≈6.060＜6.635$，
∴在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下沒有理由認(rèn)為“課外體育達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)．
（2）由題意得在不達(dá)標(biāo)學(xué)生中抽取的人數(shù)為：12×$\frac{150}{200}$=9人，
在達(dá)標(biāo)學(xué)生中抽取人數(shù)為：12×$\frac{50}{200}$=3人，
則ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{9}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{21}{55}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{9}^{2}{C}_{3}^{1}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{27}{55}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{9}^{1}{C}_{3}^{2}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{27}{220}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{12}^{3}}$=$\frac{1}{220}$，
∴ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{21}{55}$	$\frac{27}{55}$	$\frac{27}{220}$	$\frac{1}{220}$

E（ξ）=$0×\frac{21}{55}+1×\frac{27}{55}+2×\frac{27}{220}+3×\frac{1}{220}$=$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求示，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運用．