Question

7．對(duì)于自然數(shù)N^*的每一個(gè)非空子集，我們定義“交替和”如下：把子集中的元素從大到小的順序排列，然后從最大的數(shù)開(kāi)始交替地加減各數(shù)，例如{1，2，4，6，9}的交替和是9-6+4-2+1=6；則集合{1，2，3，4，5，6，7}的所有非空子集的交替和的總和為448．

Answer 1

分析 根據(jù)“交替和”的定義：求出S₂、S₃、S₄，并根據(jù)其結(jié)果猜測(cè)集合N={1，2，3，…，n}的每一個(gè)非空子集的“交替和”的總和S_n即可．

解答 解：由題意，S₂表示集合N={1，2}的所有非空子集的“交替和”的總和，
又{1，2}的非空子集有{1}，{2}，{2，1}，∴S₂=1+2+2-1=4；
S₃=1+2+3+（2-1）+（3-1）+（3-2）+（3-2+1）=12，
S₄=1+2+3+4+（2-1）+（3-1）+（4-1）+（3-2）+（4-2）+（4-3）+（3-2+1）+（4-2+1）+（4-3+1）+（4-3+2）+（4-3+2-1）=32，
∴根據(jù)前4項(xiàng)猜測(cè)集合N={1，2，3，…，n}的每一個(gè)非空子集的“交替和”的總和S_n=n•2^n-1，
所以S₇=7×2^7-1=7×2⁶=448，
故答案為：448．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了數(shù)列的應(yīng)用，同時(shí)考查了歸納推理的能力．