Question

17．如圖，幾何體P-ABCD是四棱錐，三角形ACD是正三角形，AB=BC，∠ABC=120°，M為線段PD的中點(diǎn)，求證：CM∥平面PAB．

Answer 1

分析 取AD中點(diǎn)N，連接MN，CN，由三角形的中位線定理可得MN∥PA，進(jìn)一步得到MN∥平面PAB，再由已知證明CN∥AB，得到CN∥平面PAB，與面面平行的判定可得平面CMN∥平面PAB，進(jìn)一步得到CM∥平面PAB．

解答 證明：如圖，
取AD中點(diǎn)N，連接MN，CN，
又M為PD的中點(diǎn)，∴MN∥PA，
PA?平面PAB，MN?平面PAB，∴MN∥平面PAB，
∵三角形ACD是正三角形，∴CN⊥AD，且∠CAD=60°，
又AB=BC，∠ABC=120°，∴∠CAB=30°，則∠BAD=90°，
∴BA⊥AD，則CN∥AB，
∵CN?平面PAB，AB?平面PAB，∴CN∥平面PAB，
又MN∩CN=N，∴平面CMN∥平面PAB，則CM∥平面PAB．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面平行的判定和性質(zhì)，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．