Question

19．設(shè)A，B分別是直線y=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x和y=-$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x上的兩個(gè)動點(diǎn)，并且|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{20}$，動點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，記動點(diǎn)P的軌跡為C，求軌跡C的方程是$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$．

Answer 1

分析 設(shè)動點(diǎn)P（x，y），再由題意設(shè)出A、B的坐標(biāo)，根據(jù)$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，列出坐標(biāo)之間的關(guān)系，再由|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{20}$，向量模的公式，列出關(guān)于x和y的關(guān)系式，化簡后得到所求的軌跡方程．

解答 解：設(shè)P（x，y），
由題可令A(yù)（x₁，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x₁），B（x₂，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$x₂），
∵$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=x}\\{{x}_{1}-{x}_{2}=\frac{\sqrt{5}}{2}y}\end{array}\right.$
又∵|$\overrightarrow{AB}$|=$\sqrt{20}$，
∴（x₁-x₂）²+$\frac{4}{5}$（x₁+x₂）²=20．
∴軌跡C的方程為$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1$．

點(diǎn)評 本題主要考查了求軌跡方程，解題的前提是要求學(xué)生對基礎(chǔ)知識有相當(dāng)熟練的把握．