Question

（12分）已知橢圓的離心率，過右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率為1時，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為.
（1）求橢圓的方程
（2）橢圓上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)直線繞點(diǎn)轉(zhuǎn)到某一位置時，有成立？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)及對應(yīng)直線方程；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）（2）存在，坐標(biāo)為或.

解析試題分析：(1)因?yàn)橹本�過右焦點(diǎn)，斜率為1，
所以直線的方程為：即.
坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，所以，所以.             …2分
因?yàn)殡x心率為，所以所以，
所以橢圓C的方程為.                                           …4分
(2)因?yàn)橹本�過右焦點(diǎn)，所以當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程為：
所以所以,為右端點(diǎn)時，，
所以此時沒有符合要求的點(diǎn).
當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線方程為：，
由得：.                        …7分
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，
則，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/16/e/1zo1s3.png" style="vertical-align:middle;" />，，
所以，
所以，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，且符合橢圓方程，
所以，解得
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或.                                  …12分
考點(diǎn)：本小題主要考查了橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，直線與橢圓的位置關(guān)系和平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力和運(yùn)算求解能力.
點(diǎn)評：設(shè)直線方程時要注意斜率存在與不存在兩種情況，求解直線與橢圓位置關(guān)系問題時，通常要聯(lián)立方程組，運(yùn)算量比較大，應(yīng)該仔細(xì)計算，并且要注意通性通法的應(yīng)用，加強(qiáng)解題的規(guī)范性.