設(shè)雙曲線C:的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2,垂直于x軸的直線m與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)。
(1)若直線m與x軸正半軸的交點(diǎn)為T,且,求點(diǎn)T的坐標(biāo);
(2)求直線A1P與直線A2Q的交點(diǎn)M的軌跡E的方程;
(3)過點(diǎn)F(1,0)作直線l與(Ⅱ)中的軌跡E交于不同的兩點(diǎn)A、B,設(shè),若(T為(1)中的點(diǎn))的取值范圍。

(1)點(diǎn)T的坐標(biāo)為(2,0) 
(2) 
(3)

解析試題分析:(1)設(shè)出P、Q的坐標(biāo),求得向量的坐標(biāo),利用 ,P(x0,y0)在雙曲線上,即可求得結(jié)論;
(2)利用三點(diǎn)共線建立方程,利用P(x0,y0)在雙曲線上,即可求得軌跡方程;
(3)用坐標(biāo)表示,利用韋達(dá)定理,求得模長,從而可得函數(shù)關(guān)系式,進(jìn)而可求其范圍.
解:(1)由題,得,設(shè)

 ……①
在雙曲線上,則  ……②
聯(lián)立①、②,解得   由題意,
∴點(diǎn)T的坐標(biāo)為(2,0) 
(2)設(shè)直線A1P與直線A2Q的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y)
由A1、P、M三點(diǎn)共線,得
  ……③ 
由A2、Q、M三點(diǎn)共線,得
  ……④ 聯(lián)立③、④,解得    
在雙曲線上,∴∴軌跡E的方程為 
(3)容易驗(yàn)證直線l的斜率不為0。
故可設(shè)直線l的方程為中,得  
設(shè)
則由根與系數(shù)的關(guān)系,得 ……⑤ ……⑥
 ∴有
將⑤式平方除以⑥式,得 

 



考點(diǎn):本試題主要考查了軌跡方程,考查向量知識(shí)的運(yùn)用,考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達(dá)定理的運(yùn)用,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.
點(diǎn)評:解決該試題的關(guān)鍵是借助于向量關(guān)系式來表示得到坐標(biāo),同時(shí)能利用三點(diǎn)共線,進(jìn)而得到坐標(biāo)關(guān)系,解得軌跡方程。易錯(cuò)點(diǎn)就是設(shè)而不求的思想,在運(yùn)算中的準(zhǔn)確表示。

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

(本小題滿分12分)
已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標(biāo)原點(diǎn),且兩條漸近線與以點(diǎn)為圓心,1為半徑的圓相切,又知C的一個(gè)焦點(diǎn)與A關(guān)于直線對稱.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)設(shè)直線與雙曲線C的左支交于A,B兩點(diǎn),另一直線經(jīng)過M(-2,0)及AB的中點(diǎn),求直線軸上的截距b的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知橢圓過點(diǎn),且離心率。

(Ⅰ)求橢圓方程;
(Ⅱ)若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、,且線段的垂直平分線過定點(diǎn),求的取值范圍。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

(12分)已知橢圓的離心率,過右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),當(dāng)直線的斜率為1時(shí),坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為.
(1)求橢圓的方程
(2)橢圓上是否存在點(diǎn),使得當(dāng)直線繞點(diǎn)轉(zhuǎn)到某一位置時(shí),有成立?若存在,求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)及對應(yīng)直線方程;若不存在,請說明理由。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

(本小題滿分13分)在平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓)的左焦點(diǎn)為,且點(diǎn)上.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)已知直線的斜率為2且經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn).求直線與該橢圓相交的弦長。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

(本小題12分)橢圓:的兩個(gè)焦點(diǎn)為,點(diǎn)在橢圓上,且.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)若直線過圓的圓心,交橢圓兩點(diǎn),且關(guān)于點(diǎn)對稱,求直線的方程。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

(本題滿分12分)
如圖,已知橢圓的長軸為,過點(diǎn)的直線軸垂直,直線所經(jīng)過的定點(diǎn)恰好是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn),且橢圓的離心率

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)是橢圓上異于、的任意一點(diǎn),軸,為垂足,延長到點(diǎn)使得,連接并延長交直線于點(diǎn),的中點(diǎn).試判斷直線與以為直徑的圓的位置關(guān)系.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

(本小題12分)離心率為的橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、是坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2)若直線交于相異兩點(diǎn)、,且,求.(其中是坐標(biāo)原點(diǎn))

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

(本小題滿分12分)
已知是雙曲線上不同的三點(diǎn),且連線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn),
若直線的斜率乘積,求雙曲線的離心率;

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同步練習(xí)冊答案