設(shè)雙曲線C：的左、右頂點(diǎn)分別為A1、A2，垂直于x軸的直線m與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)。
（1）若直線m與x軸正半軸的交點(diǎn)為T，且，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；
（2）求直線A1P與直線A2Q的交點(diǎn)M的軌跡E的方程；
（3）過點(diǎn)F（1，0）作直線l與（Ⅱ）中的軌跡E交于不同的兩點(diǎn)A、B，設(shè)，若（T為（1）中的點(diǎn)）的取值范圍。

（1）點(diǎn)T的坐標(biāo)為（2，0） 
（2） 
（3）

解析試題分析：（1）設(shè)出P、Q的坐標(biāo)，求得向量的坐標(biāo)，利用 ，P（x0，y0）在雙曲線上，即可求得結(jié)論；
（2）利用三點(diǎn)共線建立方程，利用P（x0，y0）在雙曲線上，即可求得軌跡方程；
（3）用坐標(biāo)表示，利用韋達(dá)定理，求得模長，從而可得函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而可求其范圍．
解：（1）由題，得，設(shè)
則
由 ……①
又在雙曲線上，則  ……②
聯(lián)立①、②，解得   由題意，
∴點(diǎn)T的坐標(biāo)為（2，0） 
（2）設(shè)直線A1P與直線A2Q的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y）
由A1、P、M三點(diǎn)共線，得
  ……③ 
由A2、Q、M三點(diǎn)共線，得
  ……④ 聯(lián)立③、④，解得    
∵在雙曲線上，∴∴軌跡E的方程為 
（3）容易驗(yàn)證直線l的斜率不為0。
故可設(shè)直線l的方程為中，得  
設(shè)
則由根與系數(shù)的關(guān)系，得 ……⑤ ……⑥
∵ ∴有
將⑤式平方除以⑥式，得 
由
 
∵
又
故
考點(diǎn)：本試題主要考查了軌跡方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．
點(diǎn)評：解決該試題的關(guān)鍵是借助于向量關(guān)系式來表示得到坐標(biāo)，同時(shí)能利用三點(diǎn)共線，進(jìn)而得到坐標(biāo)關(guān)系，解得軌跡方程。易錯(cuò)點(diǎn)就是設(shè)而不求的思想，在運(yùn)算中的準(zhǔn)確表示。

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

(本小題滿分12分)
已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標(biāo)原點(diǎn)，且兩條漸近線與以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓相切，又知C的一個(gè)焦點(diǎn)與A關(guān)于直線對稱．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設(shè)直線與雙曲線C的左支交于A，B兩點(diǎn)，另一直線經(jīng)過M（－2，0）及AB的中點(diǎn)，求直線在軸上的截距b的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓過點(diǎn)，且離心率。

（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）若直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且線段的垂直平分線過定點(diǎn)，求的取值范圍。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（12分）已知橢圓的離心率，過右焦點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率為1時(shí)，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為.
（1）求橢圓的方程
（2）橢圓上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)直線繞點(diǎn)轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，有成立？若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)及對應(yīng)直線方程；若不存在，請說明理由。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分13分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：（）的左焦點(diǎn)為，且點(diǎn)在上.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知直線的斜率為2且經(jīng)過橢圓的左焦點(diǎn).求直線與該橢圓相交的弦長。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題12分）橢圓:的兩個(gè)焦點(diǎn)為,點(diǎn)在橢圓上，且.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線過圓的圓心，交橢圓于兩點(diǎn)，且關(guān)于點(diǎn)對稱，求直線的方程。

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本題滿分12分）
如圖，已知橢圓的長軸為，過點(diǎn)的直線與軸垂直，直線所經(jīng)過的定點(diǎn)恰好是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)，且橢圓的離心率

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)是橢圓上異于、的任意一點(diǎn)，軸，為垂足，延長到點(diǎn)使得，連接并延長交直線于點(diǎn)，為的中點(diǎn)．試判斷直線與以為直徑的圓的位置關(guān)系．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題12分）離心率為的橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為、，是坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線與交于相異兩點(diǎn)、，且，求．(其中是坐標(biāo)原點(diǎn))

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）
已知是雙曲線上不同的三點(diǎn)，且連線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，
若直線的斜率乘積，求雙曲線的離心率；

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案